Qũy tích là một trong những dạng toán thách thức ở THCS. Nhân đây mình mở chuyên đề này để cùng thảo luận về các bài toán quỹ tích hình học ở THCS.
Trước hết, xin NHẮC LẠI về quỹ tích:”Một hình H được gọi là quỹ tích của các điểm M có tính chất T (hay tập hợp các điểm M có tính chất T) khi và chỉ khi nó chứa các điểm có tính chất T“.
Ta nhắc lại thêm về cách giải các bài toán quỹ tích: muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
a) Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T điều thuộc hình H. Thực chất của phần này là việc đi tìm hình dạng của quỹ tích (kiểm tra một vài trường hợp cụ thể, dự đoán và sử dụng lặp luận để chứng minh quỹ tích cần tìm). Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm được hình H chứa các điểm M có tính chất T,thế nhưng sẽ có một vài trường hợp đặc biệt mà quỹ tích vừa tìm không thỏa. Chính vì thế ta sẽ thực hiện công việc thứ hai là giới hạn quỹ tích(nếu có) của một tập hợp các điểm M.
b) Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H (hoặc giới hạn của hình H đã tìm ở trên) đều có tính chất T. Mục tiêu chính của phần này chính là xác minh lại một lần nữa (trong nhiều trường hợp việc xét phần đảo sẽ là bằng chứng chắc chắn nhất cho lặp luận của mình).
Sau khi chứng minh cả hai phần trên ta sẽ rút ra kết luận: Qũy tích của những điểm M thỏa mãn tính chất T là hình H (hoặc giới hạn của hình H nếu có).Trên thực tế , việc tìm ra được quỹ tích của một tập hợp điểm nào đó có lẽ qua đoán nhận (nếu thực sự chưa đoán được thì tốt nhất là nên thử với các trường hợp cụ thể,ít nhất là 3 trường hợp, nhưng không nên thử với các trường hợp đặc biệt).
Sau đây ta sẽ nói về các tập hợp điểm cơ bản:
1. Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
2. Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc đó.
3. Tập hợp các điểm cách đường thẳng a cho trước một khoảng bằng h không đổi gồm hai đường thẳng song song với đường thẳng a và cách đường thẳng a một khoảng bằng h.
4. Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng R (R lớn hơn 0) không đổi là đường tròn (O;R).
5. Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo bằng a (hiển nhiên a dương và nhỏ hơn 180 độ) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (gọi là cung chứa góc a vẽ trên đoạn AB).
Lưu ý:
1. Tìm hiểu kĩ bài toán để nắm vững các yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thì thường xuất hiện 3 yếu tố:
a) Yếu tố cố định: thường là các điểm, đoạn thẳng, đường thẳng,…
b) Yếu tố ko đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc,…
c) Yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích, hoặc các đoạn thẳng, hoặc các hình mà trên đó chứa các điểm ta cần tìm quỹ tích.
2. Ngoài các phương pháp tìm quỹ tích còn một phương pháp khác nữa (bí quá hả làm liều), đó là gắn hệ trục tọa độ và tìm phương trình của tập hợp điểm (cái này chắc chưa cần xài đâu).
3. Phần dự đoán rất quan trọng nên cần thận trọng (nhớ xem xét giới hạn nữa).
Trên đây là các kiến thức cần nắm, còn dưới đây sẽ là các bài tập (mời các bạn tham gia giải, gửi sơm sớm, mình sẽ bình luận (nếu thấy có gì đó chưa ổn, hay rút bớt lời giải và kinh nghiệm giải)). Trước hết xin giới thiệu 3 bài cơ bản (nói vậy chứ cũng hơi khó đấy nhé):
1.Cho góc vuông xOy cố định và một điểm A cố định trên Ox, điểm C chuyển động trên Oy. Dựng tam giác đều ACB nằm bên trong góc xOy. Tìm quỹ tích các đỉnh B của tam giác ABC.
2. Cho tam giác cân ABC (AB=AC) cố định và điểm M chuyển động trên cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN=BM. Vẽ hình bình hành BMNP. Tìm quỹ tích đỉnh P của hình bình hành này.
3. Cho góc vuông xOy và điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy. Dựng hình vuông ABCD nằm trong góc xOy. Tìm tập hợp giao điểm I hai đường chéo của hình vuông này.
…Và còn nhiều bài toán quỹ tích hấp dẫn hơn nữa (từ từ mình đăng hết). Giải thử nhé các bạn!!!